Question

20．已知实数a、b、c满足a+b=ab=c，有下列结论：①若c≠0，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1；②若a=3，则b+c=9；③若a=b=c，则abc=0；④若a、b、c中只有两个数相等，则a+b+c=8．其中正确的是①③④．

Answer 1

分析 根据已知中实数a、b、c满足a+b=ab=c，逐一分析四个结论的真假，综合可得答案．

解答 解：∵实数a、b、c满足a+b=ab=c，
若c≠0，则ab≠0，
由a+b=ab两边同除ab得：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1；故①正确；
若a=3，则3+b=3b=c，
解得：b=$\frac{3}{2}$，c=$\frac{9}{2}$，则b+c=6，故②错误；
若a=b=c，则2a=a²=a，解得a=0，故abc=0，故③正确；
若a、b、c中只有两个数相等，则a=b≠c，或a=c≠b，或b=c≠a，
当a=b≠c时，a=b=2，c=4，a+b+c=8；
当a=c≠b时，不存在满足条件的值，
当b=c≠a时，不存在满足条件的值，
故④正确，
故正确的命题有：①③④，
故答案为：①③④

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，分类讨论思想，方程思想，难度中档．