Question

设锐角三角形ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a²+b²-c²=ab．
（1）求∠C的度数；  （2）求∠A的取值范围； （3）求sinA+sinB的范围．

Answer 1

（1）∵a²+b²-c²=ab，
∴由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
又C为三角形的内角，
则C=60°；
（2）∵C=60°，
∴A+B=120°，又△ABC为锐角三角形，
∴30°＜A＜90°；
（3）由A+B=120°，得到A=120°-B，
∴sinA+sinB=sin（120°-B）+sinB
=sin120°cosB-cos120°sinB+sinB
=

3

2

cosB+

3

2

sinB
=

3

（

1

2

cosB+

3

2

sinB）
=

3

sin（B+30°），
又30°＜B＜90°，∴60°＜B+30°＜120°，
∴

3

2

＜sin（B+30°）≤1，即

3

2

＜

3

sin（B+30°）≤

3

，
则sinA+sinB的取值范围是（

3

2

，

3

]．