Question

（2013•临沂二模）已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+1）=-f（x），当-1≤x＜1时，f（x）=x³，若函数g（x）=f（x）-log_a|x|至少6个零点，则a取值范围是（　　）

• A．(0，

  1

  5

  ]∪(5，+∞)
• B．(0，

  1

  5

  )∪[5，+∞)
• C．(

  1

  7

  ，

  1

  5

  ]∪(5，7)
• D．(

  1

  7

  ，

  1

  5

  )∪[5，7)

Answer 1

分析：函数g（x）=f（x）-log_a|x|的零点个数，即函数y=f（x）与y=log₅|x|的交点的个数，由函数图象的变换，分别做出y=f（x）与y=log_a|x|的图象，结合图象可得log_a5＜1 或 log_a5≥-1，由此求得a的取值范围．

解答：解：函数g（x）=f（x）-log_a|x|的零点个数，即函数y=f（x）与y=log_a|x|的交点的个数；
由f（x+1）=-f（x），可得f（x+2）=f（x+1+1）=-f（x+1）=f（x），
故函数f（x）是周期为2的周期函数，
又由当-1≤x＜1时，f（x）=x³，据此可以做出f（x）的图象，
y=log_a|x|是偶函数，当x＞0时，y=log_ax，则当x＜0时，y=log_a（-x），做出y=log_a|x|的图象，
结合图象分析可得：要使函数y=f（x）与y=log_a|x|至少有6个交点，
则 log_a5＜1 或 log_a5≥-1，解得 a＞5，或 0＜a≤

1

5

，
故选A．

点评：本题考查函数图象的变化与运用，涉及函数的周期性，对数函数的图象等知识点，关键是作出函数的图象，由此分析两个函数图象交点的个数．