Question

（2013•日照一模）已知长方形ABCD，AB=2

2

，BC=

3

3

．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy．
（I）求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆P的标准方程；
（Ⅱ）已知定点E（-1，0），直线y=kx+t与椭圆P交于M、N相异两点，证明：对作意的t＞0，都存在实数k，使得以线段MN为直径的圆过E点．

Answer 1

分析：（I）设椭圆的标准方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，可得2a=AC+BC=即可得出a，又c=

2

，利用b²=a²-c²即可得出．
（II）把直线的方程与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出k与t的关系，再利用△＞0即可证明．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得点A，B，C的坐标分别为(-

2

，0)，(

2

，0)，(

2

，

3

3

)
设椭圆的标准方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
则2a=AC+BC=2

3

＞2，∴a=

3

．
又c=

2

，
∴b²=a²-c²=1．
∴椭圆的标准方程是

x2

3

+y2=1．
（Ⅱ）将y=kx+t代入椭圆方程，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，
由直线与椭圆有两个交点，所以△=（6kt）²-12（1+3k²）（t²-1）＞0，解得k2＞

t2-1

3

．
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则x1+x 2=-

6kt

1+3k2

，x1•x2=

3(t2-1)

1+3k2

，
∵以MN为直径的圆过E点，∴

EM

•

EN

=0，即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
而y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k2x1x2+tk(x1+x2)+t2，
∴(k2+1)

3(t2-1)

1+3k2

-(tk+1)

6kt

1+3k2

+t2+1=0，解得k=

2t2-1

3t

．
如果k2＞

t2-1

3

对任意的t＞0都成立，则存在k，使得以线段MN为直径的圆过E点．
(

2t2-1

3t

)2-

t2-1

3

=

(t2-1)2+t2

9t2

＞0，即k2＞

t2-1

3

．
∴对任意的t＞0，都存在k，使得以线段MN为直径的圆过E点．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系等是解题的关键．