Question

坐标系与参数方程
极坐标系中，已知圆心C(3，

π

6

)，半径r=1．
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）若直线

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

(t为参数)与圆交于A，B两点，求弦AB的长．

Answer 1

分析：（1）由圆心C(3，

π

6

)，可得圆心C(3cos

π

6

，3sin

π

6

)，即C(

3 3

2

，

3

2

)，半径r=1，即可得到圆的标准方程．
（2）把直线

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

(t为参数)代入圆的方程化为：t2-(6+

3

)t+9+3

3

=0．可得根与系数的关系．利用|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

即可得出．

解答：解：（1）由圆心C(3，

π

6

)，可得圆心C(3cos

π

6

，3sin

π

6

)，即C(

3 3

2

，

3

2

)，半径r=1，
∴圆的方程为(x-

3 3

2

)2+(y-

3

2

)2=1．
即x2+y2-3

3

x-3y+8=0．
（2）直线

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

(t为参数)与x轴相交于点P（-1，0）．
把此方程代入圆的方程化为：t2-(6+

3

)t+9+3

3

=0．
∴t1+t2=6+

3

，t1t2=9+3

3

．
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

(6+ 3 )2-4(9+3 3 )

=

3

．
∴|AB|=

3

．

点评：本题考查了把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程、利用参数方程解决弦长问题，属于中档题．