Question

定义max{ a  b }=

a   a≥b    b   a＜b

．设实数x，y满足约束条件

x2≤4 y2≤4

，则z=max{4x+y，3x-y}的取值范围为（　　）

A．[-7，10]

B．[-7，8]

C．[-8，10]

D．[-8，8]

Answer 1

分析：先画出可行域，即四边形ABCD上及其内部，如图．（4x+y）与（3x-y）相等的分界线x+2y=0，令z=4x+y时，点（x，y）在四边形MNCD上及其内部，求得z范围；令z=3x-y，点（x，y）在四边形ABNM上及其内部（除AB边）求得z范围，将这2个范围取并集可得答案．

解答：解：当4x+y≥3x-y时，可得x+2y≥0．
则原题可转化为：
①当

|x|≤2 |y|≤2 x+2y≥0

，Z=4x+y，
作出不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分的MDCN，
作直线l₀：4x+y=0然后把直线l₀向可行域平移，则可知直线平移到C（2，2）时Z_max=10，
平移到点N（-2，1）时Z_min=-6
此时有-6≤z≤10．
②

|x|≤2 |y|≤2 x+2y＜0

，Z=3x-y，
作出不等式组所表示的平面区域如图所示的ABNM，
作直线l₀：3x-y=0，然后把直线3x-y=0向可行域平移，
则可知直线平移到M（-2，1）时Z_min=-7，平移到点B（2，-2）时，Z_max=8，此时有-7≤z≤8
综上可得，-7≤Z≤10．
故选A．

点评：本小题主要考查分段函数的应用、简单线性规划等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．