Question

如图所示，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，点A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA=90°，AC=BC=2，BA₁⊥AC₁．
（Ⅰ）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求二面角B₁-A₁B-C₁的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）取AB中点E，连接DE，容易证明DE，DC，DA₁三条直线两两垂直，所以分别以这三条直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设DA₁=t，根据告诉的边的长度和边的关系求出点A，B，C，A₁，C₁的坐标，从而求出

AC1

，

BC

的坐标，从而能求出

AC1

•

BC

=0，所以得出AC₁⊥BC，再根据已知的AC₁⊥BA₁，即可得出AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）根据两平面所成二面角与这两个平面法向量夹角的关系：相等或互补，所以求平面A₁BB₁，和平面A₁BC₁的法向量，设平面A₁BB₁的法向量为

m

=(x，y，z)，则

m

⊥

A1B

，

m

⊥

BB1

，根据垂直数量积为0即可求出该平面的一个法向量，同样的方法求出平面A₁BC₁的一个法向量，然后求这两个法向量夹角的余弦值即可．

解答： 解：如图所示，取AB的中点E，连接DE，则DE∥BC，∵BC⊥AC，∴DE⊥AC；

又A₁D⊥平面ABC，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系；
设DA₁=t，（t＞0），则A（0，-1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），A₁（0，0，t），C₁（0，2，t）；
（Ⅰ）证明：

AC1

=(0，3，t)，

BA1

=(-2，-1，t)，

BC

=(-2，0，0)；
∴

AC1

•

BC

=0，∴

AC1

⊥

BC

，∴AC₁⊥CB，又AC₁⊥BA₁，∴AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）因为

BA1

=(-2，-1，t)，

AC1

=(0，3，t)，由BA₁⊥AC₁得t²=3，∴t=

3

；
∴

BA1

=(-2，-1，

3

)，

BB1

=

AA1

=(0，1，

3

)，

A1C1

=(0，2，0)；
设平面A₁BB₁的一个法向量为

m

=(x，y，z)，则

m • BA1 =-2x-y+ 3 z=0 m • BB1 =y+ 3 z=0

，∴x=

3

z，y=-

3

z，∴可取

m

=(

3

，-

3

，1)；同理：
可求得平面A₁BC₁的一个法向量为

n

=(

3

，0，2)，∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

5

7

；
所以，二面角B₁-A₁B-C₁的余弦值为

5

7

．

点评：考查通过建立空间直角坐标系，用向量解决立体几何问题的方法，两向量数量积为0的充要条件，线面垂直的判定定理，向量夹角的余弦公式，平面的法向量的概念．