Question

已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点.

(1)证明：PF⊥FD；

(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；

(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的平面角的余弦值.

Answer 1

方法一：(1)∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，

AB＝1，AD＝2，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1，1,0)，D(0,2,0).

不妨令P(0,0，t)，∵＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)，

∴·＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，

即PF⊥FD.

(2)存在.设平面PFD的一个法向量为n＝(x，y，z)，结合(1)，

由，得，

令z＝1，解得：x＝y＝.∴n＝(，，1).

设G点坐标为(0,0，m)，E(，0,0)，则＝(－，0，m)，

要使EG∥平面PFD，只需·n＝0，即(－)×＋0×＋m×1＝m－＝0，

得m＝t，从而满足AG＝AP的点G即为所求.

(3)∵AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，易得＝(1,0,0)，

又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，

得∠PBA＝45°，PA＝1，结合(2)得平面PFD的法向量为n＝(，，1)，

∴cos〈，n〉＝＝＝，

由题意知二面角A－PD－F为锐二面角.

故所求二面角A－PD－F的平面角的余弦值为.

方法二：(1)连接AF，则AF＝，DF＝，

又AD＝2，∴DF²＋AF²＝AD²，∴DF⊥AF，

又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A，

∴DF⊥平面PAF，又∵PF⊂平面PAF，∴DF⊥PF.

(2)过点E作EH∥DF交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH＝AD，

再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP，

∴平面EHG∥平面PFD，∴EG∥平面PFD.

从而满足AG＝AP的点G即为所求.

(3)∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，且∠PBA＝45°，∴PA＝AB＝1，

取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，

在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，

则∠MNF即为二面角A—PD—F的平面角，

∵Rt△MND∽Rt△PAD，∴＝，

∵PA＝1，MD＝1，PD＝，∴MN＝，

又∵∠FMN＝90°，∴FN＝＝，

∴cos∠MNF＝＝.