Question

4．设数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=1-$\frac{1}{a_n}$，记数列{a_n}的前n项之积为T_n，则T₂₀₁₆的值为（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． -1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由数列递推式及首项求出数列前几项，可得数列{a_n}是以3为周期的周期数列，由此求得T₂₀₁₆的值．

解答 解：由a₁=2，a_n+1=1-$\frac{1}{a_n}$，得
${a}_{2}=1-\frac{1}{{a}_{1}}=\frac{1}{2}$，${a}_{3}=1-\frac{1}{{a}_{2}}=-1$，${a}_{4}=1-\frac{1}{{a}_{3}}=2$，…
由上可知，数列{a_n}是以3为周期的周期数列，
又${a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}=2×\frac{1}{2}×（-1）=-1$，且2016=3×672．
∴T₂₀₁₆=（-1）⁶⁷²=1．
故选：D．

点评 本题考查数列递推式，关键是对数列周期的发现，是中档题．