Question

（2012•山东）如图，椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求

|PQ|

|ST|

的最大值及取得最大值时m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过椭圆的离心率，矩形的面积公式，直接求出a，b，然后求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ） 通过

x2+4y2=4 y=x+m

⇒5x2+8mx+4m2-4=0，利用韦达定理求出|PQ|的表达式，通过判别式推出的m的范围，①当-

5

＜m＜-1时，求出

|PQ|

|ST|

取得最大值

2

5

5

．利用由对称性，推出1＜m＜

5

，

|PQ|

|ST|

取得最大值

2

5

5

．③当-1≤m≤1时，

|PQ|

|ST|

取得最大值

2

5

5

．求

|PQ|

|ST|

的最大值及取得最大值时m的值．

解答：解：（I）e=

c

a

=

3

2

⇒

a2-b2

a2

=

3

4

…①
矩形ABCD面积为8，即2a•2b=8…②
由①②解得：a=2，b=1，
∴椭圆M的标准方程是

x2

4

+y2=1．
（II）

x2+4y2=4 y=x+m

⇒5x2+8mx+4m2-4=0，
由△=64m²-20（4m²-4）＞0得-

5

＜m＜

5

．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=-

8

5

m，x1x2=

4m2-4

5

，
|PQ|=

2

(- 8 5 m)2-4 4m2-4 5

=

4 2

5

5-m2

．
当l过A点时，m=1，当l过C点时，m=-1．
①当-

5

＜m＜-1时，有S(-m-1，-1)，T(2，2+m)，|ST|=

2

(3+m)，

|PQ|

|ST|

=

4

5

5-m2 (3+m)2

=

4

5

- 4 t2 + 6 t -1

，
其中t=m+3，由此知当

1

t

=

3

4

，即t=

4

3

，m=-

5

3

∈(-

5

，-1)时，

|PQ|

|ST|

取得最大值

2

5

5

．
②由对称性，可知若1＜m＜

5

，则当m=

5

3

时，

|PQ|

|ST|

取得最大值

2

5

5

．
③当-1≤m≤1时，|ST|=2

2

，

|PQ|

|ST|

=

2

5

5-m2

，
由此知，当m=0时，

|PQ|

|ST|

取得最大值

2

5

5

．
综上可知，当m=±

5

3

或m=0时，

|PQ|

|ST|

取得最大值

2

5

5

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，考查分类讨论思想，转化思想，韦达定理以及判别式的应用，设而不求的解题方法，考查分析问题解决问题，计算能力．