Question

【题目】已知函数f（x）=x2+ +alnx（x＞0，a为常数）．
（1）讨论函数g（x）=f（x）﹣x2的单调性；
（2）对任意两个不相等的正数x1、x2 ， 求证：当a≤0时， ．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，∴ ．

①当a≤0时，g'（x）＜0，g（x）在（0，+∞）为减函数；

②当a＞0时， ，

当 时，g'（x）＜0，g（x）为减函数；

当 时，g'（x）＞0，g（x）为增函数．

∴当a＞0时，g（x）在 上为减函数，g（x）在 上为增函数

（2）解：证明：以x1为自变量，构造 ．

∴ ，又 ，

= ，

∵ ，∴ ．

故当x∈（0，x2）时，t'（x）＜0，t（x）为减函数；

当x∈（x2，+∞）时，t'（x）＞0，t（x）为增函数．

故对一切x∈（0，+∞），t（x）≥t（x2）=0．当且仅当x=x2时取等号．

题中x1≠x2，故t（x1）＞0恒成立．得证．

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）构造 ，求出t（x）的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间，根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．