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    在计算“”时，先改写第k项：

    由此得

    ……

    相加，得

    （1）类比上述方法，请你计算“”的结果；

     (2) 试用数学归纳法证明你得到的等式.

     

    【答案】

    见解析

    【解析】本试题主要是考查了类比推理的运用，以及数学归纳法的综合运用。

    （1）根据已知的条件和结论，分析观察可知道所求的表达式的结论。

    （2）运用数学归纳法证明时，注意两步骤的运用尤其是假设一定要用上，否则证明的结论就是错误的。

    (1) 先改写第k项：

    由此得

    …

    相加，得

    (2)证：当时,左边=，右边 

    当时等式成立

    假设当时, 成立，那么, 当时,

      

    即当时, 等式也成立  由(1),(2)可知，对一切自然数

    成立

     

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    k（k+1）=
    1
    3
    [k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，由此得1×2=
    1
    3
    （1×2×3-0×1×2），2×3=
    1
    3
    （2×3×4-1×2×3），．．
    n（n+1）=
    1
    3
    [n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，相加，得1×2+2×3+…+n（n+1）=
    1
    3
    n(n+1)(n+2)
    （1）类比上述方法，请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”的结果；
    （2）试用数学归纳法证明你得到的等式．

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    在计算“1×2+2×3+…n（n+1）”时，先改写第k项：
    k（k+1）=数学公式[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，由此得1×2=数学公式（1×2×3-0×1×2），2×3=数学公式（2×3×4-1×2×3），．．
    n（n+1）=数学公式[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，相加，得1×2+2×3+…+n（n+1）=数学公式
    （1）类比上述方法，请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”的结果；
    （2）试用数学归纳法证明你得到的等式．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    在计算“1×2+2×3+…n（n+1）”时，先改写第k项：
    k（k+1）=
    1
    3
    [k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，由此得1×2=
    1
    3
    （1×2×3-0×1×2），2×3=
    1
    3
    （2×3×4-1×2×3），．．
    n（n+1）=
    1
    3
    [n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，相加，得1×2+2×3+…+n（n+1）=
    1
    3
    n(n+1)(n+2)
    （1）类比上述方法，请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”的结果；
    （2）试用数学归纳法证明你得到的等式．

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    （1）类比上述方法，请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”的结果；
    （2）试用数学归纳法证明你得到的等式．

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