Question

已知集合A=B，试问是否存在实数a，使得AB=？

若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）

解析:

方法一  假设存在实数a满足条件AB=，则有

（1）当A≠时，由ABB=，知集合A中的元素为非正数，

设方程x²+(2+a)x+1=0的两根为x₁,x₂,则由根与系数的关系，得

（2）当A=时，则有△=(2+a)²-4＜0，解得-4＜a＜0.

综上（1）、（2），知存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.

方法二  假设存在实数a满足条件AB≠，则方程x²+(2+a)x+1=0的两实数根x₁,x₂至少有一个为正，

因为x₁·x₂=1＞0，所以两根x₁,x₂均为正数.

则由根与系数的关系，得解得

又∵集合的补集为∴存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.