Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调区间情况；

（2）若函数有且只有两个零点，证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）求出导函数，根据的正负确定函数的单调区间，可按的正、负、零分类讨论；

（2）由（1）需分和讨论，时，在上有且只有一个零点；因此在上最大值为0，即最大值点为零点，由此可得零点及，从而可确定另一零点的范围证得结论，时类似讨论可得．

（1）的定义域为，，

当时，时，，在上递减，时，，在上递增；

当时，在上，，在上，，在上递减，在和上分别递增；

当时，在上，，在上，，在和上分别递减，在上递增.

（2）由（1）可知，当时，在上递减，在和上分别递增，

在上，当时，，当时，，在上有且只有一个零点；

在上，当时，，当时，，为使有且只有两个零点，则在上有且只有一个零点，则需在的最大值，可得，零点；

而当时，，，，

∵，

∴，，，，

∴另一个零点满足：，

∴，

由（1）可知，当时，在和上分别递减，在上递增，

在上，当时，，当时，，在上有且只有一个零点；

在上，当时，，当时，，为使有且只有两个零点，则在上有且只有一个零点，则需在的最大值，可得，零点；

而当时，，，，由上面证明可知，，

∴另一个零点满足：，

∴，

综上可知，.