Question

4．给出下列四个命题，其中正确的命题有（　　）个．
（1）函数y=sin2x+cos2x在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的单调递增区间是[0，$\frac{π}{8}$]；
（2）a₁，a₂，b₁，b₂均为非零实数，集合A={x|a₁x+b₁＞0}，B={x|a₂x+b₂＞0}，则“$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$”是“A=B”的必要不充分条件
（3）若p∨q为真命题，则p∧q也为真命题
（4）命题?x∈R，x²+x+1＜0的否定?x∈R，x²+x+1＜0．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 （1）函数y=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），利用正弦函数可判断；
（2）必要性：A=B→a1/a2=b1/b2，非充分（反例）：2/（-1）=4/（-2），A≠B；
（3）（4）直接根据定义直接判断即可．

解答 （1）函数y=sin2x+cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴单调递增区间是[0，$\frac{π}{8}$]，故正确；
（2）a₁，a₂，b₁，b₂均为非零实数，集合A={x|a₁x+b₁＞0}，B={x|a₂x+b₂＞0}，则“A=B”可得出则“$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$”且a₁，a₂同号，
故“$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$”是“A=B”的必要不充分条件，故正确；
（3）若p∨q为真命题，则p∧q不一定为真命题，故错误；
（4）命题?x∈R，x²+x+1＜0的否定?x∈R，x²+x+1≥0，故错误．
故选：C．

点评 考查了正弦函数的变换，四种命题的判断．属于基础题型，应熟练掌握．