Question

4．已知，椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0）短轴长是1，离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过F （-$\sqrt{3}$，0）的直线交椭圆C于点M，N，G（$\sqrt{3}$，0），求△GMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可设椭圆的半焦距为c，从而根据条件可以得到$\left\{\begin{array}{l}{n=\frac{1}{2}}\\{\frac{c}{m}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{m}^{2}={c}^{2}+\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，这样即可解出m=1，从而可以写出椭圆C的方程为y²+4x²=1；
（Ⅱ）可以看出直线斜率存在且不为0，从而可设直线方程为$x=ay-\sqrt{3}$，带入椭圆方程消去x便可得到$（1+4{a}^{2}）{y}^{2}-8\sqrt{3}ay+11=0$，根据韦达定理及弦长公式便可求出|MN|=$\frac{2\sqrt{1+{a}^{2}}•\sqrt{4{a}^{2}-11}}{1+4{a}^{2}}$，而由点到直线的距离公式可以求出G到直线距离，即△GMN的高d=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$，从而可以表示出△GMN的面积$S=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{4{a}^{2}-11}+\frac{12}{\sqrt{4{a}^{2}-11}}}$，这样根据基本不等式即可得出△GMN面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c，$n=\frac{1}{2}$；
∵椭圆C的离心率$e=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{c}{m}$，${m}^{2}={c}^{2}+\frac{1}{4}$；
∴m=1；
∴椭圆C的方程是${y}^{2}+\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}=1$，即y²+4x²=1；
（Ⅱ）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：$x=ay-\sqrt{3}$；
联立：$\left\{\begin{array}{l}{x=ay-\sqrt{3}}\\{{y}^{2}+4{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，得$（1+4{a}^{2}）{y}^{2}-8\sqrt{3}ay+11=0$；
∴△=192a²-44（1+4a²）=16a²-44＞0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）；
则${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{8\sqrt{3}a}{1+4{a}^{2}}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{11}{1+4{a}^{2}}$，∴$|MN|=\sqrt{1+{a}^{2}}•\sqrt{\frac{192{a}^{2}}{（1+4{a}^{2}）^{2}}-\frac{44}{1+4{a}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{1+{a}^{2}}•\sqrt{4{a}^{2}-11}}{1+4{a}^{2}}$；
△GMN的高即为点G到直线$l：x-ay+\sqrt{3}=0$的距离$d=\frac{|\sqrt{3}-a•0+\sqrt{3}|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$；
∴△GMN的面积为$S=\frac{1}{2}|MN|d=\frac{2\sqrt{3}•\sqrt{4{a}^{2}-11}}{1+4{a}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}•\sqrt{4{a}^{2}-11}}{（4{a}^{2}-11）+12}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{4{a}^{2}-11}+\frac{12}{\sqrt{4{a}^{2}-11}}}$；
∵$\sqrt{4{a}^{2}-11}+\frac{12}{\sqrt{4{a}^{2}-11}}≥2\sqrt{12}=4\sqrt{3}$；
当且仅当$\sqrt{4{a}^{2}-11}=\frac{12}{\sqrt{4{a}^{2}-11}}$，即$a=±\frac{\sqrt{23}}{2}$时，等号成立；
∴S的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，即△GMN的面积的最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 考查椭圆的标准方程，椭圆的短轴、焦距的概念，以及椭圆的离心率的计算公式，直线的点斜式方程，韦达定理，弦长公式，以及点到直线的距离公式，基本不等式用于求最值，在应用基本不等式时，需判断等号能否取到．