Question

（07年湖南卷文）（13分）

设，

.

（Ⅰ）证明数列是常数数列；

（Ⅱ）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项.

Answer 1

解析：（I）当时，由已知得．

因为，所以． …………………………①

于是． …………………………………………………②

由②－①得：．……………………………………………③

于是．……………………………………………………④

由④－③得：．…………………………………………………⑤

即数列（）是常数数列．

（II）由①有，所以．

由③有，所以，

而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列．

所以，，．

由题设知，．当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项．

若是数列中的第项，由得，取，得．此时，由得，，从而是数列中的第项．

（注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可）