Question

设数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），且a₁=2，b_n=log₃（a_n+1）．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），变形a_n+1=3（a_n-1+1），即可证明；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式，即可得出．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），
∴a_n+1=3（a_n-1+1），
又a₁+1=3，
∴数列{a_n+1}为等比数列．
（2）由（1）知an+1=3n，∴an=3n-1，
∴b_n=log₃（a_n+1）=n．
∴a_nb_n=n•（3ⁿ-1）=n•3ⁿ-n，
设T_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，
∴3T_n=3²+2×3³+…+（n-1）×3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹=

3(3n-1)

3-1

-n×3ⁿ⁺¹=

3n+1-3

2

-n×3ⁿ⁺¹，
∴T_n=

3-3n

4

+

n

2

×3n+1．

点评：本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．