Question

有下列命题：
①如果幂函数f （x）=（m²-3m+3）xm2-m-1的图象不过原点，则m=l或2；
②数列{a_n}为等比数列的充要条件为a_n=a₁q^n-1（q为常数）：
③已知向量

a

=（t，2），

b

=（-3，6），若向量

a

与

b

的夹角为锐角，则实数t的取值范围是t＜4； 
④函数f （x）=xsinx在（0，π）上有最大值，没有最小值．
其中正确命题的个数为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：①幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于0，系数为1，求解即可．
②根据等比数列的性质可知若数列{a_n}为等比数列，可以推出a_n=a₁q^n-1，反之可以利用特殊值法进行判断；
③已知向量

a

=（t，2），

b

=（-3，6），根据公式cosθ=

a • b

| a |•| b |

利用此信息进行求解；
④求出其导数，在（0，π）上通过研究单调性的变化即可获得问题的解答；

解答：解：①幂函数y=（m²-3m+3）xm2-m-1的图象不过原点，所以

m2-m-1＜0 m2-3m+3=1

解得m=1，符合题意．故①错误；
②若数列{a_n}为等比数列可以推出a_n=a₁q^n-1；若a_n=a₁q^n-1，取q=0，可得a_n=0，故②错误；
③向量

a

=（t，2），

b

=（-3，6），若向量

a

与

b

的夹角为锐角，设为θ，cosθ=

a • b

| a |•| b |

＞0，即-3t+12＞0解得t＜4，
首先若

a

=λ

b

可以推出两个向量共线，此时（t，2）=λ（-3，6），可得t=-1，
∴t≠-1，故t＜4且t≠-1；
故③错误；
④由题意可知：f′（x）=sinx+xcosx．
当x∈（0，

π

2

），可得f′（x）＞0，x∈（

π

2

，π），可得f′（x）＜0，
函数在[0，

π

2

]上单调递增，同上可知函数在（0，π）上为先增后减的函数，又所给区间为开区间，
∴函数f （x）=xsinx在（0，π）上有最大值，没有最小值．
故④正确；
故选B；

点评：本题考查的是函数的性质分析问题．在解答的过程当中成分体现了导数的知识、函数最值的知识、向量的内积．值得同学们体会和反思．