Question

已知双曲线S的中心是原点O，离心率为，抛物线y²=2x的焦点是双曲线S的一个焦点，直线l：y=kx+1与双曲线S交于A、B两个不同点．
（I）求双曲线S的方程；
（II）当以AB为直径的圆经过原点O时，求实数k的值．

Answer 1

解：（I）由题意设双曲线S的方程为 且c为它的半焦距，
根据已知得
∴
∵b²=c²-a²=1，∴b=1
所以双曲线S的方程为4x²-y²=1．
（II）由题意得 消去y得（4-k²）x²-2kx-2=0x²-2kx-2=0
当△＞0且4-k⁴≠0即4k²+8（4-k²）＞0且k≠±2时，
l与双曲线S有两个不同交点A，B
∴
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
∵以AB为直径的圆经过原点O，∴OA⊥OB，∴
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∵，，y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0
∴
化简得k²=2
所以k=
经检验k=符合条件．
所以当以AB为直径的圆经过原点O时，实数k的值为 ．
分析：（I）设出双曲线S的方程，c为它的半焦距，根据已知得 又b²=c²-a²=1，可以求出a，b，c的数值．
（II）由题意得（4-k²）x²-2kx-2=0x²-2kx-2=0，当△＞0且4-k⁴≠0时，l与双曲线S有两个不同交点A，B．解得 ．设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）因为以AB为直径的圆经过原点O，得出 所以x₁x₂+y₁y₂=0．由根与系数的关系得x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0解得k=．
点评：解决这种求双曲线的方程问题关键是熟悉双曲线中a，b，c之间的关系，解决求直线方程问题关键是把垂直问题转化为向量垂直再结合者根与系数的关系列方程解方程即可，此知识点是高考考查的重点．