定义在非零实数集上的函数f(x)对任意非零实数x,y恒有f(xy)=f(x)+f(y),当x∈(0,+∞)时,f(x)为增函数,
且f(2)=1.
(1)求f(1),f(-1)的值,并求证:f(x)为偶函数;
(2)判断并证明f(x)在(-∞,0)的单调性;
(3)解不等式:f(x)-f(x-2)>3.
分析:(1)先令x=y=1得到f(1)=f(-1)=0,从而得出f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x),f(x)为偶函数;
(2)结论是:f(x)在(-∞,0)为单调减函数;证明如下:设x1,x2∈R且x1<x2,则f(x1)-f(x2)与零比较,得出f(x1)>f(x2)故f(x)在(-∞,0)上是减函数.
(3)先得出f(x)>f(x-2)+f(8)=f(8x-16),根据奇偶性和单调性得|x|>|8x-16|解得答案即可.
解答:解:(1)令x=y=1得:
f(1)=f(-1)=0,
f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)
∴f(x)为偶函数;
(2)f(x)在(-∞,0)为单调减函数;
设x
1,x
2∈R且x
1<x
2,则f(x
1)-f(x
2)=f[(x
1-x
2)+x
2]-f(x
2)=f(x
2)[f(x
1-x
2)-1]
∵x
1-x
2<0
∴f(x
1-x
2)>f(0)=1
∴f(x
1-x
2)-1>0
对f(x
2)>0
∴f(x
2)f[(x
1-x
2)-1]>0
∴f(x
1)>f(x
2)故f(x)在(-∞,0)上是减函数.
(3)f(2)=1得f(4)=2,f(8)=3,
所以f(x)>f(x-2)+f(8)=f(8x-16)
根据奇偶性和单调性得|x|>|8x-16|,x
2>(8x-16)
2,即63x
2-256x+256<0
解得:
<x<且x≠2.
点评:本小题主要考查抽象函数及其应用、函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.