Question

设函数f(x)=cos(2x+

π

6

)+sin2x．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若AB=1，sinB=

1

3

，f(

C

2

)=

3

2

，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）先利用两角和公式对函数解析式化简整理，然后利用正弦函数的单调性，求得函数递增时2x+

π

3

的范围，进而求得x的范围，则函数的单调增区间可求得．
（2）把x=

C

2

代入函数解析式求得C的值，进而求得sinC的值，利用正弦定理求得AC的值．

解答：解：f(x)=cos(2x+

π

6

)+sin2x=cos2xcos

π

6

-sin2xsin

π

6

+sin2x=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin(2x+

π

3

)
（1）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，则kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

](k∈Z).
（2）由已知f(

C

2

)=sin(C+

π

3

)=

3

2

，
因为0＜C＜π，∴

π

3

＜C+

π

3

＜

4π

3

所以C+

π

3

=

2π

3

，C=

π

3

，∴sinC=

3

2

在△ABC中，由正弦定理，

AC

sinB

=

AB

sinC

，
得AC=

AB•sinB

sinC

=

1 3

3 2

=

2 3

9

点评：本题主要考查了两角和公式的化简求值，三角函数的基本性质以及正弦定理的应用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．