Question

求下列函数的定义域和值域：
(1)y=

3x

4x-1

；        
 (2)y=

1

x2-2x-3

．

Answer 1

分析：（1）函数定义域只要满足分母不为0即可，值域运用函数的图象变化，把原函数向分母靠，变为

a

f(x)

+b的形式；
（2）函数的定义域只要分式的分母不为0即可，求值域时先求出分母的取值范围，然后求其倒数的范围．

解答：解：（1）要使函数f(x)=

3x

4x-1

有意义，需要4x-1≠0，即x≠

1

4

，所以原函数定义域为{x|x≠

1

4

}．
由于y=

3x

4x-1

=

3 4 (4x-1)+ 3 4

4x-1

=

3

4(4x-1)

+

3

4

，
而

3

4(4x-1)

≠0，所以y≠

3

4

，所以原函数值域为{y|y≠

3

4

}．
（2）要使原函数有意义，则需x²-2x-3≠0，即x≠-1，x≠3，
所以原函数的定义域为{x|x≠-1，x≠3}．
因为x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4，所以y∈(-∞，-

1

4

]∪(0，+∞)．
所以函数值域为(-∞，-

1

4

]∪(0，+∞)．

点评：本题考查了函数的定义域及其值域的求解方法，考查了函数的平移变化，考查了二次函数值域的求法，同时还考查了极限思想，属综合体．