Question

某种海洋生物身体的长度f（t）（单位：米）与生长年限t（单位：年）满足如下的函数关系：f（t）=

10

1+2-t+4

．（设该生物出生时t=0）
（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；
（2）设出生后第t₀年，该生物长得最快，求t₀（t₀∈N^*）的值．

Answer 1

分析：（1）根据f（t）的解析式，由题意可列出不等式f（t）=

10

1+2-t+4

≥8，求解不等式即可得到答案；
（2）出生后第t₀年，该生物长得最快，则求f（t₀）-f（t₀-1）的最大值时t₀的值，令u=2-t0+4，构造g（u）=

u

(1+u)(1+2u)

，利用基本不等式求最值即可，要注意取等号的条件．

解答：解：（1）由题意，f（t）≥8，即

10

1+2-t+4

≥8，
化简可得，2-t+4≤

1

4

，即2^-t+4≤2^-2，
解得t≥6，
故该生物6年后身长可超过8米；
（2）设出生后第t₀年，该生物长得最快，则有
f（t₀）-f（t₀-1）=

10

1+2-t0+4

-

10

1+2-t0+5

=

10•2-t0+4

(1+2-t0+4)(1+2-t0+5)

（t₀≥1），
令u=2-t0+4，则u∈（0，8]，
令g（u）=

u

(1+u)(1+2u)

=

u

2u2+3u+1

=

1

2u+ 1 u +3

≤

1

2 2u• 1 u +3

=

1

2 2 +3

，
当且仅当2u=

1

u

，即u=2-

1

2

，2-t0+4=2-

1

2

，t₀=4.5时取“=”，
又∵t₀∈N^*，
∴t₀的值可能为4或5，
∵f（4）-f（3）=f（5）-f（4）=

5

3

，
∴所求的年份为第4年和第5年，两年内各生长了

5

3

米．

点评：本题主要考查函数模型的选择与应用．建立模型后运用了基本不等式求最值．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于中档题．