Question

如图，F是椭圆的右焦点，以F为圆心的圆过原点O和椭圆的右顶点，设P是椭圆的动点，P到两焦点距离之和等于4。
（Ⅰ）求椭圆和圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=4，PM⊥l，垂足为M，是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知可得2a=4，a=2c，得；
∴椭圆的标准方程为，圆的标准方程为；
（Ⅱ）设P（x，y），则M（4，y），F（1，0），
∵P（x，y）在椭圆上，
∴，，，

∴
（1）若|PF|=|FM|，则，解得x=-2或4，
∵|x|≤2，
当x=-2时，|PF|+|FM|=|PM|与三角形两边之和大于第三边矛盾，
∴|PF|≠|PM|；
（2）若|PM|=|FM|，则，解得x=4或，
∵|x|≤2，
∴，∴，
∴，
综上可知，存在两点，，使得△PFM为等腰三角形。