Question

11．已知△ABC的面积S=3，
（1）若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$∈[0，6]，求∠A的取值范围；
（2）若∠A为钝角，a=4时，求：|$\frac{\overrightarrow{AB}}{{c}^{2}sin2B}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{{b}^{2}sin2C}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积公式可得到$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=\frac{6}{sinA}$，从而由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}∈[0，6]$即可得到$\frac{6cosA}{sinA}∈[0，6]$．容易说明A可以等于$\frac{π}{2}$，而$A≠\frac{π}{2}$时，便可得到tanA∈[1，+∞），从而得到A$∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，最后即可得出∠A的取值范围；
（2）作AD⊥BC，垂足为D，这样原式便可变成$|\frac{\overrightarrow{AB}}{2|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{BD}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{2|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{CD}|}|$，而$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$，从而原式便等于$\frac{1}{2|\overrightarrow{AD}|}|\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{BD}|}+\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{CD}|}|=\frac{1}{2}|\frac{1}{|\overrightarrow{BD}|}+\frac{1}{|\overrightarrow{CD}|}|$，设$|\overrightarrow{BD}|=x$，从而$|\overrightarrow{CD}|=4-x$，x∈（0，4），从而原式=$\frac{2}{|-{x}^{2}+4x|}$，可以说明二次函数-x²+4x在x=2时取最大值，并此时|-x²+4x|取最大值，从而得出$|\frac{\overrightarrow{AB}}{{c}^{2}sin2B}+\frac{\overrightarrow{AC}}{{b}^{2}sin2C}|$的最小值．

解答 解：（1）由${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|sinA=3$得：$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=\frac{6}{sinA}$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cosA=\frac{6cosA}{sinA}$∈[0，6]；
（1）A=$\frac{π}{2}$时显然满足$\frac{6cosA}{sinA}$∈[0，6]；
（2）A≠$\frac{π}{2}$时，可以得到$\frac{6}{\frac{sinA}{cosA}}∈（0，6]$；
∴$\frac{sinA}{cosA}=tanA∈[1，+∞）$；
∵0＜A＜π；
∴$A∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$；
综上得∠A的取值范围为$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$；
（2）如图，过A作AD|⊥BC，垂足为D，则：
$|\frac{\overrightarrow{AB}}{{c}^{2}sin2B}+\frac{\overrightarrow{AC}}{{b}^{2}sin2C}|$=|$\frac{\overrightarrow{AB}}{2csinB•ccosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{2bsinC•bcosC}$|=$|\frac{\overrightarrow{AB}}{2|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{BD}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{2|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{CD}|}|$
=$\frac{1}{2|\overrightarrow{AD}|}|\frac{\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}}{|\overrightarrow{BD}|}+\frac{\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}}{|\overrightarrow{CD}|}|$=$\frac{1}{2|\overrightarrow{AD}|}|\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{BD}|}+\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{CD}|}|$=$\frac{1}{2}|\frac{1}{|\overrightarrow{BD}|}+\frac{1}{|\overrightarrow{CD}|}|$；
设$|\overrightarrow{BD}|=x$，$|\overrightarrow{CD}|=4-x$，x∈（0，4）；
原式=$\frac{1}{2}|\frac{1}{x}+\frac{1}{4-x}|=\frac{2}{|-{x}^{2}+4x|}$；
x∈（0，4）时，-x²+4x＞0；
∴|-x²+4x|=-x²+4x；
二次函数-x²+4x当x=2时取最大值4；
即-x²+4x≤4，即|-x²+4x|≤4；
∴$\frac{2}{|-{x}^{2}+4x|}≥\frac{1}{2}$；
∴$|\frac{\overrightarrow{AB}}{{c}^{2}sin2B}+\frac{\overrightarrow{AC}}{{b}^{2}sin2C}|$的最小值为$\frac{1}{2}$．

点评 考查三角形面积公式，向量数量积的计算公式，求∠A范围时可结合正切函数图象，二倍角的正弦公式，正余弦函数的定义，向量加法的几何意义，单位向量的定义，以及二次函数的最值，含绝对值函数的最值的求法．