Question

已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．设P₁（x₁，y₁），P₂=f（P₁），P₃=f（P₂），…，P_n=f（P_n-1），…．如果存在一个圆，使所有的点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P_n（x_n，y_n）的一个收敛圆．特别地，当P₁=f（P₁）时，则称点P₁为映射f下的不动点．若点P（x，y）在映射f下的象为点．
（Ⅰ）求映射f下不动点的坐标；
（Ⅱ）若P₁的坐标为（2，2），求证：点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）存在一个半径为2的收敛圆．

Answer 1

（Ⅰ）解：设不动点的坐标为P₀（x₀，y₀），
由题意，得，解得，
所以此映射f下不动点为．

（Ⅱ）证明：由P_n+1=f（P_n），得，
所以，
因为x₁=2，y₁=2，
所以，
所以，
由等比数列定义，得数列N^*）是公比为-1，首项为的等比数列，
所以，则．
同理．
所以．
设，则，
因为，
所以，
所以．
故所有的点P_n（n∈N^*）都在以为圆心，2为半径的圆内，
即点P_n（x_n，y_n）存在一个半径为2的收敛圆．
分析：（Ⅰ）设不动点的坐标为P₀（x₀，y₀），依据对应关系及不动点的定义，解方程组，可得不动点的坐标．
（Ⅱ）由P_n+1=f（P_n），得，构造两个等比数列N^*）和{y_n}，
写出它们的通项公式，设，计算P_n到A的距离，可得此距离小于2，故所有的点P_n（n∈N^*）都在以为圆心，2为半径的圆内．
点评：本题考查映射的定义，构造等比数列并求通项公式，两点间的距离公式的应用．