Question

x，y是两个不相等的正数，且满足x³-y³=x²-y²，则[9xy]的最大值为    ．（其中[x]表示不超过x的最大整数）．

Answer 1

【答案】分析：由x，y是两个不相等的正数，且满足x³-y³=x²-y²，知x²+xy+y²=x+y，将其看成y的函数，解出y=（1-x±），由定义域知-＜x＜1，由此借助三角函数能求出[9xy]的最大值．
解答：解：∵x，y是两个不相等的正数，且满足x³-y³=x²-y²，∴x²+xy+y²=x+y，
将其看成y的函数，解出y=（1-x±），由定义域知-＜x＜1，
若y=（1-x-），
解y＞0，1-x-•＞0，1-x＞1+3x，x＜0，与x，y同为正数不符，
所以y=（1-x+），且y＞0，x＞0，
（1+2x-3x²）=3[-（x-）²]，
设x-=sinα，即x=（1+2sinα），其中-≤α≤，
由x＞0，知-＜α≤，
y=（1-x+）=（1-sinα+cosα），
由x，y不相等，知1+2sinα≠1-sinα+cosα，tanα≠，知α≠，
9xy=（1+2sinα）（1-sinα+cosα）=1+sinα+cosα-2sin²α+2sinαcosα，
∵（sinα+cosα）²=sin²α+2sinαcosα+3cos²α=3-2sin²α+2sinαcosα，
9xy=-2+sinα+cosα+（sinα+cosα）²=（sinα+cosα+）²-，
∵sinα+cosα=2sin（α+），-＜α≤，α≠，
∴＜α+≤，但α+≠，
∴1≤2sin（α+）＜2．
所以9xy=（sinα+cosα+）²-＜（2+）²-=4．
∴[9xy]的最大值为3．
故答案为：3．
点评：本题考查函数值域的求法，综合性强，难度大，具有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．