Question

函数f（x）=

1

3

ax3+

1

2

ax2-2ax+2a+1的图象经过四个象限的充要条件是

 

．

Answer 1

分析：利用导数研究函数的单调性，可得f（-2）与f（1）中，一个是函数的极大值而另一个是函数的极小值．结合题意可得f（-2）•f（1）＜0，得到关于a的不等式，解之即可得出实数a的范围，从而得到所求充要条件．

解答：解：∵f（x）=

1

3

ax3+

1

2

ax2-2ax+2a+1，
∴求导数，得f′（x）=a（x-1）（x+2）．
①a=0时，f（x）=1，不符合题意；
②若a＜0，则当x＜-2或x＞1时，f′（x）＜0；当-2＜x＜1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-2，1）是为增函数，在（-∞，-2）、（1，+∞）上为减函数；
③若a＞0，则当x＜-2或x＞1时，f′（x）＞0；当-2＜x＜1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-2，1）是为减函数，在（-∞，-2）、（1，+∞）上为增函数
因此，若函数的图象经过四个象限，必须有f（-2）•f（1）＜0，
即（

16a

3

+1）（

5a

6

+1）＜0，解之得-

6

5

＜a＜-

3

16

．
故答案为：-

6

5

＜a＜-

3

16

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、函数的图象、充要条件的判断等知识，属于基础题．