Question

已知函致f （x）=x³+bx²+cx+d．
（I）当b=0时，证明：曲线y=f（x）与其在点（0，f（0））处的切线只有一个公共点；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为12x+y-13=0，且它们只有一个公共点，求函数y=f（x）的所有极值之和．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）当b=0时，f（x）=x³+cx+d，f′（x）=3x²+c．f（0）=d，f′（0）=c．曲线y=f（x）与其在点（0，f（0））处的切线为y=cx+d．由此能够证明曲线y=f（x）与其在点（0，f（0））处的切线只有一个公共点．
（Ⅱ）由已知，切点为（1，1）．又f′（x）=3x²+2bx+c，于是，由此能够求出函数y=f（x）的所有极值之和．
解答：（Ⅰ）证明：当b=0时，f（x）=x³+cx+d，
f′（x）=3x²+c．
f（0）=d，f′（0）=c．…（2分）
曲线y=f（x）与其在点（0，f（0））处的切线为y=cx+d．
由，消去y，得x³=0，x=0．
所以曲线y=f（x）与其在点（0，f（0））处的切线只有一个公共点即切点．…（5分）
（Ⅱ）解：由已知，切点为（1，1）．
又f′（x）=3x²+2bx+c，于是
，
即，
解得c=-2b-15，d=b+15．
从而f（x）=x³+bx²-（2b+15）x+b+15．…（8分）
由，
消去y，得x³+bx²-（2b+3）x+b+2=0．
因直线12x+y-13=0与曲线y=f（x）只有一个公共点（1，1），
则方程x³+bx²-（2b+3）x+b+2
=（x-1）[x²+（b+1）x-b-2]
=（x-1）（x-1）（x+b+2）
故b=-3．…（10分）
于是f（x）=x³-3x²-9x+12，
f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+		-		+
f（x）	↗	极大值17	↘	极小值-15	↗

由此知，函数y=f（x）的所有极值之和为17-15=2．…（12分）
点评：本题考查曲线与其切线只有一个公共点的证明，考查函数所有的极值之和的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．