Question

在数列{a_n}中，a1=

1

2

，a_n+1=

3an

an+3

．
（1）计算a₂，a₃，a₄并猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）根据a1=

1

2

，a_n+1=

3an

an+3

可求出a₂，a₃，a₄的值，根据前四项的值可猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）根据数学归纳法的步骤进行证明即可．

解答：解：（1）∵a1=

1

2

，a_n+1=

3an

an+3

．
∴a₂=

3 2

1 2 +3

=

3

7

，a₃=

3 7

3 7 +3

=

3

8

，a₄=

3 8

3 8 +3

=

3

9

猜想数列{a_n}的通项公式为a_n=

3

n+5

（2）①n=1时，a₁=

1

2

=

3

6

满足通项公式；
②假设当n=k时猜想成立，即ak=

3

k+5

，则ak+1=

3ak

ak+3

=

3× 3 k+5

3 k+5 +3

=

3

(k+1)+5

，
当n=k+1时猜想也成立．
综合①②，对n∈N^*猜想都成立．

点评：本题主要考查了递推关系，以及数学归纳法的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．