Question

（2013•铁岭模拟）设函数f(x)=

1

2

x2-tx+3lnx，g(x)=

2x+t

x2-3

，已知x=a，x=b为函数f（x）的极值点（0＜a＜b）
（1）求函数g（x）在（-∞，-a）上的单调区间，并说明理由．
（2）若曲线g（x）在x=1处的切线斜率为-4，且方程g（x）-m=0有两个不相等的负实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数与极值的关系即可求出；
（2）先利用导数的几何意义求出t，进而得出得出单调区间并由此画出图象即可求出．

解答：解：（1）∵f′(x)=x-t+

3

x

=

x2-tx+3

x

，又x=a，x=b为函数f（x）的极值点，
∴a，b是方程x²-tx+3=0的两根，∴a+b=t，ab=3．
又g′(x)=-

2(x2+tx+3)

(x2-3)2

=-

2[x2+(a+b)x+3]

(x2-3)2

=-

2(x+a)(x+b)

(x2-3)2

．
∵0＜a＜b，ab=3，∴0＜a＜

3

＜b，∴-b＜-

3

＜-a＜0．
当x∈(-b，-

3

)和(-

3

，-a)时，g^′（x）＞0；当x∈（-∞，-b）时，g^′（x）＜0．
∴g（x）的单调递增区间为(-b，-

3

)和(-

3

，-a)；单调递减为（-∞，-b）．
（2）由g^′（1）=-

2(4+t)

22

=-4，解得t=4．
∴g（x）=

2x+4

x2-3

，g′(x)=-

2(x+1)(x+3)

(x2-3)2

．
令g^′（x）=0，解得x=-3或-1．
当x∈（-∞，0]时，列表如图：
由表格可知：当x=-3时，g（x）取得极小值-

1

3

；当x=-1时，g（x）取得极大值-1．
由图象可知：
当-

1

3

＜m＜0或-

4

3

≤m＜-1时，方程g（x）-m=0有两个不相等的负实根．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值和图象是解题的关键．