Question

设集合W由满足下列两个条件的数列{a_n}构成：①

an+an+2

2

＜an+1；②存在实数M，使a_n≤M．（n为正整数）
（Ⅰ）在只有5项的有限数列{a_n}、{b_n}中，其中a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5；b₁=1，b₂=4，b₃=5，b₄=4，b₅=1；试判断数列{a_n}、{b_n}是否为集合W中的元素；
（Ⅱ）设{c_n}是各项为正数的等比数列，S_n是其前n项和，c3=

1

4

，S3=

7

4

，试证明{S_n}∈W，并写出M的取值范围；
（Ⅲ）设数列{d_n}∈W，对于满足条件的M的最小值M₀，都有d_n≠M₀（n∈N^*）．求证：数列{d_n}单调递增．

Answer 1

分析：（Ⅰ）检验这2个数列中的各项是否满足①②2个条件．
（Ⅱ）{c_n}是各项为正数的等比数列，求出公比和首项，得到通项公式，再计算其前n项和S_n，
判断S_n是否满足①②2个条件．
（Ⅲ）用反证法证明，若数列{d_n}非单调递增，推出与题设矛盾，所以假设不对，命题得到证明．

解答：解：（Ⅰ）对于数列{a_n}，取

a1+a3

2

=2=a₂，显然不满足集合W的条件①，故{a_n}不是集合W中的元素．（2分）
对于数列{b_n}，当n?{1，2，3，4，5}时，
不仅有

b1+b3

2

=3＜b2，

b2+b4

2

=4＜b3，

b3+b5

2

=3＜b4，
而且有b_n≤5，显然满足集合W的条件①②，故{b_n}是集合W中的元素．（4分）
（Ⅱ）∵{c_n}是各项为正数的等比数列，S_n是其前n项和，c3=

1

4

，S3=

7

4

，设其公比为q＞0，
∴

c3

q2

+

c3

q

+c3=

7

4

，整理得，6q²-q-1=0
∴q=

1

2

，∴c1=1，cn=

1

2n-1

Sn=2-

1

2n-1

（7分）
对于“n∈N^*，有

Sn+Sn+2

2

=2-

1

2n

-

1

2n+2

＜2-

1

2n

=Sn+1，且S_n＜2，
故{S_n}∈W，且M∈[2，+∞）．（9分）
（Ⅲ）证明：（反证）若数列{d_n}非单调递增，则一定存在正整数k，使d_k≥d_k+1 成立，
当n=m+1时，由

dm+dm+2

2

＜dm+1得  d_m+2＜2d_m+1-d_m，
而d_m+1-d_m+2＞d_m+1-（2d_m+1-d_m）=d_m-d_m+1≥0，所以d_m+1＞d_m+2 ．
显然在d₁，d₂，…，d_k这k项中一定存在一个最大值，不妨记为dn0，
所以dn0≥dn(n∈N*)，从而dn0=M0．这与题设d_n≠M₀（n∈N^*）相矛盾．
所以假设不成立，故命题得证．（14分）

点评：本题考查数列的函数特性，等比数列的性质，等比数列的前n项和公式，用反证法证明数学命题，属于中档题．