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对任意实数k满足直线y=kx+b与椭圆
x=
3
+2cosθ
y=1+4sinθ
(0≤θ<2π)
恒有公共点,则b的取值范围是
-1≤b≤3
-1≤b≤3
分析:先把椭圆的参数方程化为普通方程,与直线方程联立得到关于x的一元二次方程,由题意可得△≥0,而此式对于任意实数k恒成立,必有△1≤0,解得即可.
解答:解:由椭圆
x=
3
+2cosθ
y=1+4sinθ
(0≤θ<2π)
消去参数θ可得:
(x-
3
)2
4
+
(y-1)2
16
=1

把y=kx+b代入上式消去y可得:(4+k2)x2+[2k(b-1)-8
3
]x
+b2-2b-3=0.
∵直线y=kx+b与椭圆恒有公共点,
∴△≥0,即[2k(b-1)-8
3
]2-4(4+k2)(b2-2b-3)≥0

化为k2-2
3
k(b-1)-b2+2b+15≥0

∵上式对任意实数k恒成立,∴△1≤0,即12(b-1)2-4(-b2+2b+15)≤0,
化为b2-2b-3≤0,解得-1≤b≤3.
故答案为-1≤b≤3.
点评:本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到x的一元二次方程的判别式△≥0、对于任意实数k一元二次不等式恒成立再转化为△≤0问题等基础知识与基本技能,属于难题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

14、某同学对函数f(x)=xcosx进行研究后,得出以下五个结论:①函数y=f(x)的图象是中心对称图形;②对任意实数x,f(x)>0均成立;③函数[a,b]的图象与x轴有无穷多个公共点,且任意相邻两点的距离相等;④函数y=f(x)的图象与直线y=x有无穷多个公共点,且任意相邻两点的距离相等;⑤当常数k满足|k|>1时,函数y=f(x)的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点.其中所有正确结论的序号是
①④⑤

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科目:高中数学 来源: 题型:

某同学对函数f(x)=xcosx进行研究后,得出以下五个结论:
①函数y=f(x)的图象是中心对称图形;
②对任意实数x,f(x)≤|x|均成立;
③函数y=f(x)的图象与x轴有无穷多个公共点,且任意相邻两点的距离相等;
④函数y=f(x)的图象与直线y=x有无穷多个公共点,且任意相邻两点的距离相等;
⑤当常数k满足|k|>1时,函数y=f(x)的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点.其中所有正确结论的序号是
①②④⑤
①②④⑤

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•松江区一模)某同学对函数f(x)=xcosx进行研究后,得出以下五个结论:
①函数y=f(x)的图象是轴对称图形;
②对任意实数x,f(x)≤|x|恒成立;
③函数y=f(x)的图象与x轴有无穷多个公共点,且任意相邻两点的距离相等;
④函数y=f(x)的图象与直线y=x有无穷多个公共点,且任意相邻两点的距离相等;
⑤当常数k满足|k|>1|时,函数y=f(x)的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点.
其中正确的结论序号是
②④⑤
②④⑤
(请写出所有正确结论序号).

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科目:高中数学 来源:福建师大附中2011-2012学年高一下学期期中考试数学试题 题型:022

设M(a,b),且满足a2+b2=1,已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,直线l:y=kx,下列四个命题:

①对满足条件的任意点M和任意实数k,直线l和圆C有公共点;

②对满足条件的任意点M和任意实数k,直线l和圆C相切;

③对任意实数k,必存在满足条件的点M,使得直线l和圆C相切;

④对满足条件的任意点M,必存在实数k,使得直线l和圆C相切.

其中正确的命题是________.(写出所有正确命题的序号)

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