Question

如图，已知焦点在x轴上的椭圆

x2

20

+

y2

b2

=1(b＞0)经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）求实数m的取值范围；
（3）是否存在实数m，使△ABM为直角三角形，若存在，求出m的值，若不存，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆方程的标准形式，由离心率的值及椭圆过点（4，1）求出待定系数，得到椭圆的标准方程．
（2）把直线方程代入椭圆的方程，由判别式大于0，求出m的范围即可；
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数m满足题意，再利用△ABM为直角三角形，结合向量垂直的条件求出m，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）依题意

16

20

+

1

b2

=1，解得b²=5，…（2分）
所以椭圆的标准方程是

x2

20

+

y2

5

=1．…（3分）
（2）由

y=x+m x2 20 + y2 5 =1

得5x²+8mx+4m²-20=0，…（4分）
∵直线l与椭圆有两个不同的交点，
∴△=（8m）²-20（4m²-20）=-16m²+400＞0…（6分）
解得-5＜m＜5．…（7分）
（3）假设存在实数m满足题意，
当MA⊥AB时，直线MA的方程为y-1=-（x-4），即y=-x+5．
由

y=-x+5 x2 20 + y2 5 =1

得x²-8x+16=0，解得

x=4 y=1

．
故A（4，1），与点M重合，不合题意．
同理，当MB⊥AB时，也不合题意．…（9分）
当MA⊥MB时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由（2）得x1+x2=-

8m

5

，x1•x2=

4m2-20

5

，
y₁+y₂=x₁+x₂+2m，y₁•y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²．…（10分）
∵

MA

=(x1-4，y1-1)，

MB

=(x2-4，y2-1)
∴

MA

•

MB

=(x1-4)(x2-4)+(y1-1)(y2-1)…（11分）
=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16+y₁y₂-（y₁+y₂）+1
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）+m²-2m+17
=2•

4m2-20

5

+(m-5)(-

8m

5

)+m2-2m+17
=

40m-40

5

+m2-2m+17=m²+6m+9．…（13分）
又

MA

•

MB

=0，
∴m²+6m+9=0，
解得m=-3∈（-5，5），
综上所述，存在实数m=-3使△ABM为直角三角形．…（14分）

点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，一元二次方程根与系数的关系，体现了等价转化的数学思想．