Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+c（c为常数，n∈N^*），且a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）设bn=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用递推关系判断出数列{a_n}为等差数列，将a₁，a₂，a₅用公差表示，据此三项成等比数列列出方程，求出c．
（2）写出b_n，据其特点，利用裂项的方法求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵a_n+1=a_n+c
∴a_n+1-a_n=c
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，以c为公差的等差数列
a₂=1+c，a₅=1+4c
又a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列
∴（1+c）²=1+4c
解得c=2或c=0（舍）
（2）由（1）知，a_n=2n-1
∴bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Sn=

1

2

[(1- 

1

3

)+(

1

3

 -

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1)]

=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

点评：求数列的前n项和时，应该先求出通项，根据通项的特点，选择合适的求和方法．