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    已知定点A(0，a)(a＞0)，直线l1：y＝－a交y轴于点B，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C．

    (Ⅰ)求动点C的轨迹E的方程；

    (Ⅱ)设倾斜角为α的直线l2过点A，交轨迹E于两点P、Q，交直线l1于点R．

    (1)若tanα＝1，且ΔPQB的面积为，求a的值；

    (2)若α∈[，]，求|PR|·|QR|的最小值．

    答案：
    解析：

    　　解法一：(Ⅰ)连CA，过C作CD⊥l1，垂足为D，由已知可得|CA|＝|CD|，

    　　∴点C的轨迹是以A为焦点，l1为准线的抛物线，

    　　∴轨迹E的方程为x2＝4ay　　(4分)

    　　(Ⅱ)直线l2的方程为y＝kx＋a，与抛物线方程联立消去y得x2－4akx－4a2＝0．

    　　记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

    　　则x1＋x2＝4ak，x1x2a2＜0　　(6分)

    　　(1)若tanα＝1，即k＝1，此时x1＋x2＝4a，x1x2＝－4a2．

    　　∴SΔBPQ＝SΔABP＋SΔABQ＝a|x1|＋a|x2|＝a|x2－x1|

    　　＝a＝a＝a＝4a2　　(8分)

    　　∴4a2＝，注意到a＞0，∴a＝　　(9分)

    　　(2)因为直线PA的斜率k≠0，易得点R的坐标为(，－a)　　(10分)

    　　|PR|·|QR|＝·＝(x1＋，y1＋a)·(x2＋，y2＋a)

    　　＝(x1＋)(x2＋)＋(kx1＋2a)(kx2＋2a)

    　　＝(1＋k2)x1x2＋(＋2ak)(x1＋x2)＋＋4a2

    　　＝－4a2(1＋k2)＋4ak(＋2ak)＋＋4a2＝4a2(k2＋)＋8a2≥8a2＋8a2＝16a2

    　　又α∈[，]，∴k∈[，1]，

    　　当且仅当k2＝，即k＝1时取到等号　　(12分)

    　　从而|PR|·|QR|的最小值为16a2　　(14分)


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    		3
    )    ，点B在圆F：x2+(y-
    		3
    )2=16    上运动，F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于点P．
    （1）求动点P的轨迹E的方程；
    （2）若曲线Q：x2-2ax+y2+a2=
    1
    4
    被轨迹E包围着，求实数a的最小值；
    （3）已知Q（2，0），求|PQ|的最大值．

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    已知常数a＞0，向量c＝(0，a)，i＝(1，0)，经过原点O以c＋λi为方向向量的直线与经过定点A(0，a)，以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得||＋||为定值？若存在，求出E、F的坐标；请若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源：江西新余市第一中学2012届高三第一次模拟考试数学理科试题 题型：044

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    (1)求点C的轨迹方程；

    (2)若存在过点(0，－1)且不与坐标轴垂直的直线l与点C的轨迹交于不同的两点E、F，且|AE|＝|AF|，求实数a的取值范围．

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