Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，已知（2a+b）cosC+ccosB=0．
（1）求∠C的大小；
（2）若c=4，求使△ABC面积得最大值时a，b的值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：解三角形

分析：（1）直接利用正弦定理化简已知条件，得到C的余弦函数值，然后求∠C的大小；
（2）通过余弦定理以及基本不等式求出ab的最大值，然后求出面积的最大值．即可求解a，b的值．

解答： 解：（1）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，（2a+b）cosC+ccosB=0，
由正弦定理可得，（2sinA+sinB）cosC+sinCcosB=0，
即2sinAcosC+sin（B+C）=0，∵sinA=sin（B+C）≠0
∴2cosC=-1，∴C=120°．
（2）∵c²=a²+b²-2abcosC，∴16=a²+b²+ab≥3ab，当且仅当a=b时等号成立．
∴ab≤

16

3

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC≤

4 3

3

，
当且仅当a=b=

4 3

3

时取等号．
△ABC面积得最大值时a=b=

4 3

3

．

点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查三角形的面积的求法，考查计算能力．