Question

7．已知$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+7≥0}\\{3x-2y-2≤0}\\{x+y-4≥0}\end{array}\right.$，则z=|$\frac{x}{y+x}$|的取值为[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 作出可行域，变形目标函数可得z=|$\frac{1}{\frac{y}{x}+1}$|，$\frac{y}{x}$表示区域内的点和原点连线的斜率，先求$\frac{y}{x}$的范围，再由不等式的性质可得．

解答 解：作出$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+7≥0}\\{3x-2y-2≤0}\\{x+y-4≥0}\end{array}\right.$所对应的可行域（如图阴影△ABC），
变形目标函数可得z=|$\frac{x}{y+x}$|=|$\frac{1}{\frac{y}{x}+1}$|，$\frac{y}{x}$表示区域内的点和原点连线的斜率，
数形结合可得当直线经过点A时，$\frac{y}{x}$取最小值，当直线经过点B时，$\frac{y}{x}$取最大值，
联立$\left\{\begin{array}{l}{3x-2y-2=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$可解得A（2，2），故$\frac{y}{x}$取最小值为1，
同理联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$可得B（1，3），故$\frac{y}{x}$取最大值为3，
∴$\frac{y}{x}$∈[1，3]，∴$\frac{y}{x}$+1∈[2，4]，∴$\frac{1}{\frac{y}{x}+1}$∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]，∴|$\frac{1}{\frac{y}{x}+1}$|∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]，
故答案为：[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查简单线性规划，变形并数形结合是解决问题的关键，属中档题．