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已知集合P是满足下述性质的函数f(x)的全体:存在非零常数M,对于任意的x∈R,都有f(x+M)=-Mf(x)成立.
(1)设函数g(x)=sinπx,试证明:g(x)∈P;(2)当M=1时,试说明函数f(x)的一个性质,并加以证明;
(3)若函数h(x)=sinωx∈P,求实数ω的取值范围.
(1)取 M=1  对于任意x∈R,g(x+M)=sin(πx+π)=-sinπx=-g(x)=Mf(x)∴g(x)∈P
(2)M=1时,f(x+1)=-f(x)f(x+2)=-f(x+1)=f(x)∴f(x)是一个周期函数,周期为2;
(3)∵h(x)=sinωx∈P∴存在非零常数M,对于对于任意的x∈R,都有h(x+M)=-Mh(x)成立.  既 sin(ωx+ωM)=-Msinωx
若|M|>1,取sinωx=1,则 sin(ωx+ωM)=-M对x∈R恒成立时不可能的.
若|M|<1,取sin(ωx+ωM)=1,则  sinωx=-
1
M
对x∈R也不成立.∴M=±1
当 M=1时   sin(ωx+ω)=-sinωx,sin(ωx+ω)+sinωx=0,2sin(ωx+
ω
2
)•cos
ω
2
=0
(x∈R),cos
ω
2
=0
解得:ω=2kπ+π(k∈Z);
当M=-1时  sin(ωx-ω)=sinωx,sin(ωx-ω)-sinωx=0,2cos(ωx-
ω
2
)•sin(-
ω
2
)=0
(x∈R),sin
ω
2
=0
解得:ω=2kπk∈Z
综上可得ω=kπ(k∈Z)
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知集合P是满足下述性质的函数f(x)的全体:存在非零常数M,对于任意的x∈R,都有f(x+M)=-Mf(x)成立.
(1)设函数g(x)=sinπx,试证明:g(x)∈P;(2)当M=1时,试说明函数f(x)的一个性质,并加以证明;
(3)若函数h(x)=sinωx∈P,求实数ω的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知集合P是满足下述性质的函数f(x)的全体:存在非零常数M,对于任意的x∈R,都有f(x+M)=-Mf(x)成立.
(1)设函数g(x)=sinπx,试证明:g(x)∈P;(2)当M=1时,试说明函数f(x)的一个性质,并加以证明;
(3)若函数h(x)=sinωx∈P,求实数ω的取值范围.

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