Question

设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为A（0，2），右焦点F与点的距离为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在经过点（0，-3）的直线l，使直线l与椭圆相交于不同的两点M，N满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根据条件得到以及b=2；求出a²=12即可得到椭圆的方程；
（2）设直线l的方程为y=kx-3（k≠0），由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上；联立直线方程和椭圆方程得到k的屈指范围以及点M，N的坐标和k的关系，结合点A在线段MN的垂直平分线对应的斜率相乘等于-1即可求出结论．
解答：解：（1）依题意，设椭圆方程为，
则其右焦点坐标为，由|FB|=2，
得，即，故．
又∵b=2，∴a²=12，
从而可得椭圆方程为．--（6分）
（2）由题意可设直线l的方程为y=kx-3（k≠0），由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，
由消去y得x²+3（kx-3）²=12，即可得方程（1+3k²）x²-18kx+15=0…（*）
当方程（*）的△=（-18k）²-4（1+3k²）×15=144k²-60＞0
即时方程（*）有两个不相等的实数根．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点P（x，y），
则x₁，x₂是方程（*）的两个不等的实根，故有．
从而有  ，．
于是，可得线段MN的中点P的坐标为
又由于k≠0，因此直线AP的斜率为，
由AP⊥MN，得，即5+6k²=9，解得，
∴，
∴综上可知存在直线l：满足题意．--------（13分）
点评：本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．