【题目】已知函数在
处有极值
.
(1)求的解析式;
(2)若关于的不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)由题意得出可得出关于
、
的方程组,解出这两个量的值,进而可求得函数
的解析式;
(2)构造函数,由题意可知,不等式
对任意的
恒成立,求出导数
,对实数
进行分类讨论,分析函数
在区间
上的单调性,求出其最大值
,通过解不等式
可求得实数
的取值范围.
(1),
,
因为函数在
处有极值
,
得,
,解得
,
,
所以;
(2)不等式恒成立,
即不等式恒成立,
令,
则不等式对任意的
恒成立,则
.
.
又函数
的定义域为
.
①当时,对任意的
,
,则函数
在
上单调递增.
又,所以不等式
不恒成立;
②当时,
.
令,得
,当
时,
;当
时,
.
因此,函数在
上单调递增,在
上单调递减.
故函数的最大值为
,由题意得需
.
令,
函数
在
上单调递减,
又,由
,得
,
,
因此,实数的取值范围是
;
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(14分)已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=﹣ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数).
(I)求实数b的值;
(II)求函数f(x)的单调区间;
(III)当a=1时,是否同时存在实数m和M(m<M),使得对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[,e])都有公共点?若存在,求出最小的实数m和最大的实数M;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在长方中,
,
,E为
的中点,以
为折痕,把
折起到
的位置,且平面
平面
.
(1)求证:;
(2)在棱上是否存在一点P,使得
平面
,若存在,求出点P的位置,若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列事件A,B是独立事件的是( )
A. 一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上”
B. 袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”
C. 掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”
D. A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】《九章算术》卷五《商功》中有如下叙述“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈“刍甍”指的是底面为矩形的对称型屋脊状的几何体,“下广三丈”是指底面矩形宽三丈,“袤四丈”是指底面矩形长四丈,“上袤二丈”是指脊长二丈,“无宽”是指脊无宽度,“高一丈”是指几何体的高为一丈.现有一个刍甍如图所示,下广三丈,袤四丈,上袤三丈,无广,高二丈,则该刍甍的外接球的表面积为_______________平方丈.
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