Question

已知p（x，y）在直线l：x-y-1=0运动，当函数z=2

x

+

4-y

取得最大值时，P点的坐标为

 

．

Answer 1

分析：由点在直线上设出点p的坐标为（a，a-1）代入z=2

x

+

4-y

得z-2

a

=

5-a

利用a∈R，方程一定有解，设b=

a

，则5b²-4zb+z²-5=0将其转化为关于b的二次函数，再由b有解，利用△≥0得到关于z的不等式，从中解出z的取值范围，最大值可得，将z值代入z²+4a-4z

a

=5-a求可求得点p的坐标．

解答：解：P（x，y）在直线l：x-y-1=0运动，所以可以设p点为（a，a-1）
将P点代入函数z=2

x

+

4-y

=2

a

+

4-a+1

∴z-2

a

=

5-a

z²+4a-4z

a

=5-a
z²+5a-4z

a

-5=0
设b=

a

，则5b²-4zb+z²-5=0
判别式=16z²-20（z²-5）=100-4z²≥0
解得-5≤z≤5
所以z最大为5，将z=5代入原方程得：5b²-20b+20=0得b=2
因为

a

=b，所以a=4
因此z取最大值5的时候P点坐标为（4，3）
故答案为  （4，3）

点评：本题考查求函数最大值的问题，因为 所给函数比较特殊，所以用换元法将其转化关于函数值的一元二次函数，利用判别式求出函数值的最值范围用求值域的方法求最值，这是本题解题的一个特色．