Question

（2012•福州模拟）假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5，记此时教室里敞开的窗户个数为X．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为y，求y的数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，X～B（4，0.5），由此能求出X的分布列．
（Ⅱ）Y的所有可能取值为3，4，分别求出p（Y=3）和P（Y=4）的值，由此能求出Y的期望值E（Y）．

解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵X的所有可能取值为0，1，2，3，4，X～B（4，0.5），（1分）
∴P（X=0）=

C

0 4

(

1

2

)4=

1

16

，P（X=1）=

C

1 4

(

1

2

)4=

1

4

，
P（X=2）=

C

2 4

(

1

2

)4=

3

8

，P（X=3）=

C

3 4

(

1

2

)4=

1

4

，
P（X=4）=

C

4 4

(

1

2

)4=

1

16

，（6分）
∴X的分布列为

X	0	1	2	3	4
P	1 16	1 4	3 8	1 4	1 16

（7分）
（Ⅱ）Y的所有可能取值为3，4，则（8分）
p（Y=3）=P（X=3）=

1

4

，（9分）
P（Y=4）=1-P（Y=3）=

3

4

，（11分）
∴Y的期望值E（Y）=3×

1

4

+4×

3

4

=

15

4

．
答：Y的期望值E（Y）等于

15

4

．（13分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型之一．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的合理运用．