Question

如图，斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，侧面AA₁C₁C是菱形，∠A1AC=60o，E、F分别是A₁C₁、AB的中点．求证：（1）EF∥平面BB₁C₁C；（2）平面CEF⊥平面ABC．

Answer 1

分析：（1）取BC中点M，连接FM，C1M，证明FM

∥

.

1

2

AC，推出四边形EFMC₁为平行四边形，然后证明EF∥平面BB₁C₁C；
（2）在平面AA₁C₁C内，作A₁O⊥AC，O为垂足，证明OC

∥

.

A₁E，得到EC

∥

.

A₁O₁，证明A₁O⊥底面ABC．得到平面CEF⊥平面ABC．

解答：证明：（1）取BC中点M，连接FM，C1M，
在△ABC中，因为F，M分别为BA、BC的中点，
所以FM

∥

.

1

2

AC，
因为E为A₁C₁的中点，AC

∥

.

A1C1，
所以EF∥EC₁，又FM∥A₁C₁从而四边形EFMC₁为平行四边形，
所以EF∥C₁M，又因为C₁M?平面BB₁C₁C，EF?平面BB₁C₁C，
EF∥平面BB₁C₁C；
（2）在平面AA₁C₁C内，作A₁O⊥AC，O为垂足，
因为∠A₁AC=60°，所以AO=

1

2

AA₁=

1

2

AC，
从而O为AC的中点．
所以OC

∥

.

A₁E，因而EC

∥

.

A₁O₁，
因为侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，交线为AC，
A₁O⊥AC，所以A₁O⊥底面ABC．
所以EC⊥底面ABC，
又因为EC?平面EFC，
所以平面CEF⊥平面ABC．

点评：本小题主要考查空间线面关系，考查直线与平面平行，平面与平面垂直的证明，考查空间想像能力和推理论证能力．