Question

（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=lnx+ax²+bx（其中a，b）为常数且a≠0）在x=1处取得极值．
（I） 当a=1时，求f（x）的单调区间；
（II） 若f（x）在（0，e]上的最大值为1，求a的值．

Answer 1

分析：（I）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据x=1是f（x）的一个极值点f′（1）=0，可构造关于a，b的方程，根据a=1求出b值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，x的范围，可得函数f（x）的单调区间；
（II）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于a的方程求得结果．

解答：解：（I）因为f（x）=lnx+ax²+bx所以f′（x）=

1

x

+2ax+b，…（2分）
因为函数f（x）=lnx+ax²+bx在x=1处取得极值
f′（1）=1+2a+b=0…（3分）
当a=1时，b=-3，f′（x）=

2x2-3x+1

x

，
f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

…（5分）
所以f（x）的单调递增区间为（0，

1

2

），（1，+∞）
单调递减区间为（

1

2

，1）…（6分）
（II）因为f′（x）=

(2ax-1)(x-1)

x

令f′（x）=0，x₁=1，x₂=

1

2a

…（7分）
因为f（x）在 x=1处取得极值，所以x₂=

1

2a

≠x₁=1，
当

1

2a

＜0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减
所以f（x）在区间（0，e]上的最大值为f（1），
令f（1）=1，解得a=-2…（9分）
当a＞0，x₂=

1

2a

＞0
当

1

2a

＜1时，f（x）在（0，

1

2a

）上单调递增，（

1

2a

，1）上单调递减，（1，e）上单调递增
所以最大值1可能在x=

1

2a

或x=e处取得
而f（

1

2a

）=ln

1

2a

+a（

1

2a

）²-（2a+1）

1

2a

=ln

1

2a

-

1

4a

＜0
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，解得a=

1

e-2

…（11分）
当1≤

1

2a

＜e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，（1，

1

2a

）上单调递减，（

1

2a

，e）上单调递增
所以最大值1可能在x=1或x=e处取得
而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，
解得a=

1

e-2

，与1＜x₂=

1

2a

＜e矛盾…（12分）
当x₂=

1

2a

≥e时，f（X）在区间（0，1）上单调递增，在（1，e）单调递减，
所以最大值1可能在x=1处取得，而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0，矛盾
综上所述，a=

1

e-2

或a=-2．…（13分）

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，其中根据已知条件确定a，b值，得到函数导函数的解析式并对其符号进行分析，是解答的关键．属于中档题．