Question

(经典回放)设P_n＝(1＋x)ⁿ，Q_n＝1＋nx＋x²，n∈N₊，x∈(－1，＋∞)，试比较P_n与Q_n的大小，并加以证明．

Answer 1

答案：
解析：

P1＝1＋x＝Q1，P2＝1＋2x＋x2＝Q2， 　　P3＝1＋3x＋3x2＋x3，Q3＝1＋3x＋3x2， 　　P3－Q3＝x3， 　　由此推测，Pn与Qn的大小要由x的符号来决定． 　　解：(1)当n＝1，2时，Pn＝Qn． 　　(2)当n≥3时，(以下再对x进行分类)． 　　①若x∈(0，＋∞)，显然有Pn＞Qn； 　　②若x＝0，则Pn＝Qn； 　　③若x∈(－1，0)， 　　则P3－Q3＝x3＜0，所以P3＜Q3； 　　P4－Q4＝4x3＋x4＝x3(4＋x)＜0，所以P4＜Q4； 　　假设Pk＜Qk(k≥3)， 　　则Pk+1＝(1＋x)Pk＜(1＋x)Qk＝Qk＋xQk(运用归纳假设) 　　＝1＋＋x＋kx2＋ 　　＝1＋(k＋1)x＋x2＋x3 　　＝Qk+1＋x3＜Qk+1， 　　即当n＝k＋1时，不等式成立． 　　所以当n≥3，且x∈(－1，0)时，Pn＜Qn． 　　思路分析：这类问题，一般都是将Pn、Qn退至具体的Pn、Qn开始观察，以寻求规律，作出猜想，再证明猜想的正确性．

提示：

本题除对n的不同取值会有Pn与Qn之间的大小变化，变量x也影响Pn与Qn的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n”，而忽视其他变量(参数)的作用．