Question

求下列函数的值域：
（1）y=3x²-x+2；（2）；（3）；
（4）；（5）（6）；

Answer 1

解：（1）（配方法）∵y=3x²-x+2=3（x-）²+≥，
∴y=3x²-x+2的值域为[，+∞）
（2）求复合函数的值域：
设μ=-x²-6x-5（μ≥0），则原函数可化为y=
又∵μ=-x²-6x-5=-（x+3）²+4≤4，
∴0≤μ≤4，故∈[0，2]，
∴y=的值域为[0，2]
（3）分离变量法：y===3+，
∵≠0，∴3+≠3，
∴函数y=的值域为{y∈R|y≠3}
（4）换元法（代数换元法）：设t=≥0，则x=1-t²，
∴原函数可化为y=1-t²+4t=-（t-2）²+5（t≥0），∴y≤5，
∴原函数值域为（-∞，5]
注：总结y=ax+b+型值域，
变形：y=ax²+b+或y=ax²+b+
（5）三角换元法：
∵1-x²≥0?-1≤x≤1，
∴设x=cosα，α∈[0，π]，
则y=cosα+sinα=sin（α+）
∵α∈[0，π]，
∴α+∈[，]，
∴sin（α+）∈[-，1]，
∴sin（α+）∈[-1，]，
∴原函数的值域为[-1，]
（6）判别式法：∵x²+x+1＞0恒成立，
∴函数的定义域为R
由y=得：（y-2）x²+（y+1）x+y-2=0①
①当y-2=0即y=2时，①即3x+0=0，
∴x=0∈R
②当y-2≠0即y≠2时，
∵x∈R时方程（y-2）x²+（y+1）x+y-2=0恒有实根，
∴△=（y+1）²-4×（y-2）²≥0，
∴1≤y≤5且y≠2，
∴原函数的值域为[1，5]
分析：（1）（配方法）∵y=3x²-x+2=3（x-）²+
（2）看作是复合函数先设μ=-x²-6x-5（μ≥0），则原函数可化为y=，再配方法求得μ的范围，可得的范围．
（3）可用分离变量法：将函数变形，y===3+，再利用反比例函数求解．
（4）用换元法设t=≥0，则x=1-t²，原函数可化为y=1-t²+4t，再用配方法求解
（5）由1-x²≥0?-1≤x≤1，可用三角换元法：设x=cosα，α∈[0，π]，将函数转化为y=cosα+sinα=sin（α+）用三角函数求解
（6）由x²+x+1＞0恒成立，
即函数的定义域为R，用判别式法，将函数转化为二次方程（y-2）x²+（y+1）x+y-2=0有根求解．
点评：本题主要考查求函数值域的一些常用的方法．配方法，分离变量法，三角换元法，代数换元法，判别式法…