Question

（考生注意：本题为选做题，请在下列两题中任选一题作答，如果都做，则按所做第（1）题计分）
（1）（《坐标系与参数方程选讲》选做题）．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，则曲线C上的点到直线（t为参数）距离的最大值为    ．

（2）（《几何证明选讲》选做题）．已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于点A，∠ACB的平分线分别交AB，AE于点D，F，则∠ADF    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）将曲线C方程化成普通方程，可得曲线C表示以C（1，0）为圆心，半径为1的圆．可得曲线C上的点到直线距离的最大值等于圆心到直线的距离加上圆的半径，由此结合点到直线距离公式，则不难求出这个最大值．
（2）连接AO，根据切线的性质定理，得∠ACB+∠AOC=90°，再用等腰三角形底角相等和三角形外角定理，结合CD平分∠ACB，可得∠ADF=∠DCB+∠B=（∠AOC+∠ACB）=45°．
解答：解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，化成直角坐标得x²+y²-2x=0
∴曲线C表示以C（1，0）为圆心，半径为1的圆
直线（t为参数）化成普通方程，得2x-y+2=0
可得点C到直线的距离为：d==
∴曲线C上的点到直线的距离的最大值为1+
（2）连接AO，
∵AC与l圆O相切于点A，∴OA⊥AC，可得∠ACB+∠AOC=90°
∵OA=OB，∴∠B=∠BAO=∠AOC
又∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=∠ACB
因此，∠ADF=∠DCB+∠B=（∠AOC+∠ACB）=45°
故答案为：1+ 45°
点评：本题第一小问给出圆上动点，求该点到直线距离的最大值，考查了极坐标、参数方程与普通方程的互化和点到直线距离公式等知识，第二小问已经圆的直径和切线，求一个角的大小，着重考查了三角形外角定理、等边对等角和切线的性质等知识，两题都属于基础题．