Question

过直角坐标平面xOy中的抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作一条倾斜角为

π

4

的直线与抛物线相交于A、B两点．
（1）求直线AB的方程；
（2）试用p表示A、B之间的距离；
（3）当p=2时，求∠AOB的余弦值．
参考公式：（x_A²+y_A²）（x_B²+y_B²）=x_Ax_B[x_Ax_B+2p（x_A+x_B）+4p²]．

Answer 1

（1）由题意知焦点F(

p

2

，0)，
∴过抛物线焦点且倾斜角为

π

4

的直线方程是y=x-

p

2

，
即x-y-

p

2

=0，
（2）由

y2=2px y=x- p 2

⇒x2-3px+

p2

4

=0⇒xA+xB=3p，xAxB=

p2

4

⇒|AB|=x_A+x_B+p=4p．
（3）由

y2=4x y=x-1

⇒x²-6x+1=0⇒x_A+x_B=6，x_Ax_B=1.cos∠AOB=

|AO|2+|BO|2-|AB|2

2|AO||BO|

=

xA2+yA2+xB2+yB2-(xA-xB)2-(yA-yB)2

2 (xA2+yA2)(xB2+yB2)

=

xAxB+yAyB

(xA2+yA2)(xB2+yB2)

=

2xAxB- p 2 (xA+xB)+ p2 4

xAxB[xAxB+2p(xA+xB)+4p2]

=-

3 41

41

．
∴∠AOB的大小是与p无关的定值．